Existence of solutions to numerical schemes using regularization: application to two-phase flow in porous media schemes
Existence de solutions pour des schémas numériques par régularisation : application aux écoulements diphasiques en milieux poreux
Résumé
The present document corresponds to the 4 th chapter of my thesis, the problem setting is not definitive, what matters most here are the mathematical results and the methodology of the existence proofs. In this work, we propose a framework and some tools for establishing the existence of solutions to numerical schemes in the case of the two-phase flow model. These schemes are sharing some key a priori mathematical properties. It applies to a large variety of continuous models. We propose the definition of a regularized scheme and show that if solutions exist to this regularization, then the existence of the initial one is ensured. This perturbation of the scheme facilitates the regularized existence. The main aim is to handle degenerate systems such as the two-phase Darcy flows in porous media. We illustrate the strength of our framework on two practical schemes, a finite volume one using the DDFV framework, and the other based on a Control Volume Finite Element (CVFE) method.
Le présent document correspond au quatrième chapitre de ma thèse, le problème posé n'est pas définitif, ce qui importe le plus ici, ce sont les résultats mathématiques et la méthodologie des preuves d'existence. Dans ce travail, nous proposons un cadre et des outils pour établir l'existence de solutions à des schémas numériques dans le cas du modèle d'écoulement diphasique. Ces schémas partagent certaines propriétés mathématiques clés a priori. Ce cadre s'applique à une grande variété de modèles continus. Nous proposons la définition d'un schéma régularisé et montrons que si des solutions existent à cette régularisation, alors l'existence du schéma initial est assurée. Cette perturbation du schéma facilite l'existence régularisée. L'objectif principal est de traiter les systèmes dégénérés tels que les écoulements de Darcy à deux phases dans les milieux poreux. Nous illustrons la force de notre cadre sur deux schémas pratiques, l'un en volume fini utilisant le cadre DDFV, et l'autre basé sur une méthode d'éléments finis à volume contrôlé (CVFE).
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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